算术平方根 初中数学公式

随着科技的进步，如今我们只需轻触屏幕即可完成开n次方的操作。在电子技术尚未普及的八十、九十年代之前，野外测绘工作中常常需要依靠人工或工具来估算平方根。当精度要求不是特别高时，也会采用近似计算的方法。以下是相关介绍：

一、公式近似计算

基本原理：

根据公式(a+b)²=a²+2ab+b²，当b²相对于a²来说非常小的时候，我们可以忽略b²的影响。

近似公式：(a+b)²≈a²+2ab

通过这个近似，我们可以推导出b的估算值：b≈[(a+b)²-a²]/2a

例如，估算√1234的值：

由于35的平方是1225，而1234略大于此值，因此可以得出35<√1234<36。

取a=35，按照上述公式计算b的值，得到b≈0.128571。

√1234的近似值为35.128571。

二、递归法

基本原理：

在方法一中，我们得到了一个近似的根值√s≈a+b。其中b的计算方式是[(a+b)²-a²]/2a。

令[(a+b)²-a²]=k，则√s可以表示为a+k/2a。

我们再通过递归的方式，把√s的近似值代入到自身公式中，反复迭代计算，通常进行2到3次迭代即可得到较为精确的结果。

例如，用递归法求√1234的值时，通过2到3次的迭代即可得到与实际值相当接近的估算值。

两种方法虽然在原理上有所不同，但它们都需要满足一个共同的条件，即a²的值需要尽可能接近被开方数。如果不满足这个条件，就需要重新进行计算。

实例演示：估算√591的值

由于591的平方根介于20和25之间，我们首先取一个近似的中间值a=23进行计算。

计算得到的b值偏大，说明初始的a值选择不够精确。

我们尝试调整a的值，试取a=23+1.5=24.5。

经过重新计算后发现，24.5的平方已经非常接近于√591的值。