有理数是什么意思 0.33333…是有理数吗

证明根号2为无理数

在数学史上，根号2的发现被视为一件重要的事件。毕达哥拉斯学派信奉着万物皆为数的理念，然而他们的信条却在某一天被打破。

边长为一的正方形的对角线，在古希腊数学家希帕索斯的探索下，被揭示为一种无法用整数之比来描述的全新数。这一发现引起了数学界的巨大震动。

根据毕达哥拉斯定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。对于边长为一的正方形，其斜边的长度即为根号二。

那么，如何证明根号二为无理数呢？这要从小数的性质开始探讨。

古代希腊人认为所有数都可表示为两个互质整数的比值。比如，三可表示为3/1，0.333...可简化为1/3。那么如果根号二是有理数，也应遵循这一原则。

然而事实并非如此。我们假设根号二为某两个互质整数之比p/q（p、q为整数），设等式两边同时平方得到的结果进行推理，便会得到一系列矛盾的结论。

由已知，我们可以设：p/q=根号二。当两边同时平方后，我们可以得到一个等式：p²/q²=2。

由此可以推导出p为偶数（结论1），再进一步假设p=2m（m为整数），那么p²=4m²。

由原始等式再次推导后我们可得出q也是偶数（结论2）。根据结论1和结论2综合起来看，若p和q为两个互质数的话，那么它们之间不可能同时存在共同的因数2，这与我们的假设相矛盾。

我们可以证明根号二无法表示为两个互质整数的比值，即根号是有理数。

这一发现让希腊数学家们大惑不解，他们将这种数称为无理数，意为不合规矩、不应该存在的数。但实际上，这不过是我们对数学认识的扩展与突破。

随着时间的推移，人们逐渐发现这种无理数在数学世界中无所不在，它们是客观存在的，而所谓的“有理”或“无理”只是人为的分类标签。