什么是循环小数 有限循环小数和无限循环小数
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关于有理数为何能表示为有限小数或无限循环小数，以及如何将无限循环小数转化为既约分数形式的问题。
你是否对如何证明有理数转化为小数形式时，若为无限小数则必定循环感到困惑？面对如0.168831这样的数字，你是否好奇其作为分数是什么？接下来，我们将详细解析这些问题。
一、问题阐述
我们要证明的是：有理数等于有限小数加上无限循环小数。对此，我们首先进行一些基本概念的说明。
有理数也被称为比例数，它与分子分母为整数的分数是等价的。每个有理数都有一个与之对应的既约分数，既约分数是指其分子和分母不仅是整数，而且二者的最大公约数为1。
有限小数是正确表示有理数的一种形式。
为了简化证明过程，我们可以将需要证明的有理数范围缩小到(0, 1)之间。如果在这个范围内结论成立，那么推广到全部有理数上结论也必然成立。
无限循环小数是如……的小数，其中前面的m个小数位没有循环，循环节是……。
为了证明题目，我们需要证明以下两个关键结论。
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第一个结论是关于无限循环小数一定是有理数的证明。
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第二个结论是有理数一定是有限小数或者无限循环小数。
二、无限循环小数是有理数的证明。
选取一个无限循环小数，从其开始循环的地方切割，将前后部分分开。
由于分数/有理数的四则运算结果仍为分数/有理数，为了证明一个数q是有理数，我们需要证明q可以写成分数的形式。
提取循环节，并对该数进行进一步分解。
由于循环节的特性，我们可以通过一系列推导证明该数是有理数。
三、有理数性质的进一步证明。
考虑一个既约真分数。我们将证明它一定是有限小数或无限循环小数。
思路提示：
基于之前的分析，我们可以试探任意有理数是否具有循环小数的等价形式。虽然这个等式不一定成立，但它能为我们提供思路。我们将尝试找到一个满足特定条件的整数n。
构造特殊数列。
对于任意数，我们定义一个数为连续m个9组成的整数除以b的余数。如果存在这样的数，那么我们的目标就达到了。
通过一系列复杂的计算和推导，我们可以得到一个一般性的递推公式。
由于一个数除以b的余数的可能性有限，因此不断增大k值，一定会出现两个f的值相同的情况。我们将此情况进行分析……
经过上述推导，我们可以确定存在一个有限小数或循环小数的形式表示该有理数。由于我们选择的分数a、b是任意的，因此该证明适用于所有有理数。
via:王小龙（知乎）
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