整数包括0吗 0不是整数的原因

网上偶然间遇到一个引人深思的问题：

此问题乍看之下似乎毫无头绪，但实则蕴含了抽象代数（Abstract Algebra）的一些基本概念，因此我决定撰写一篇文章来详细阐述一下。

数学的起源可以追溯到数数，最早的概念是自然数（Natural Number）。随着数学应用范围的扩大，又逐渐发展出了新的数类。

在初中时期，我们系统地学习了数的体系。

进入高中后，我们学习了集合的概念，通过集合的角度来研究数。为了便于理解，我们用字母来代表由不同类型数组成的集合，我们所学的集合包括：

• 自然数集：N
• 整数集：Z
• 有理数集：Q
• 实数集：R
• 复数集：C

许多小伙伴在阅读此文时可能会与一位网友产生共鸣，对无理数（Irrational Number）的集合没有字母表示感到好奇，他们可能会疑惑这是否是书上遗漏了讲解，或是数学家们没有给其命名。

实际上，无理数集没有使用字母表示是有其原因的。为了理解这一点，我们需要先搞清楚三个基本概念：集合（Set）、二元运算（Binary Operation）和封闭性（Closedness）。

关于基本概念

• 集合——我们已经对其有了基本的认识。然而关于集合的精确定义还有待深入探讨，但理解到这个层次也就足够了。

当我们提到二元运算时

• 二元运算虽然我们较为熟悉，但此前并未给予其精确的定义。若以非专业语言来解释，加法就是一种二元运算，因为它可以将1和1变成2，将2和3变成5等。同样地，四则运算加减乘除都是二元运算。

我们通常将减法视为加法的逆运算，将除法视为乘法的逆运算。最基本的二元运算只有两种。

于是有人会问，既然存在二元运算，那么是否存在一元运算？答案是肯定的。一元运算实际上是将一个数转变为另一个数的过程，比如我们常见的对数运算、开方运算都是一元运算。实际上，一元运算与我们所学的函数概念相吻合。

还有三元运算、四元运算、n元运算等概念，但本文不再深入讨论。

• 封闭性——这是理解本文核心概念的关键。

“封闭性”是建立在集合与二元运算的基础之上的概念。

对于某个数集和某种运算，若其结果仍在该数集中，则称该数集对于这种二元运算是封闭的.举个简单的例子来说明这个概念：自然数集对于加法和乘法是封闭的，因为任意两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。如2-3=-1的结果就不是自然数了。

为了进一步探讨这个问题

我们需要分析已知集合对四则运算的封闭性。

• 自然数集N对于加法与乘法是封闭的，但对于减法与除法不封闭。
• 整数集Z对于加、减、乘是封闭的，但对于除法不封闭。
• 有理数集Q对四则运算都是封闭的。
• 实数集R和复数集C也同样对四则运算是封闭的。

尤其值得一提的是有理数集。它之所以被视为是有理数之集合是因为它的元素都可以表示为两个整数之比。我们要证明的是：通过严格的理论推导我们可以得知，任意两个有理数进行四则运算后的结果仍然是有理数。