积化和差公式 积化和差24字口诀

上述内容已经详细介绍了和差化积公式的推导过程，并提供了轻松的记忆方法，使得读者可以便捷地掌握并书写三角函数的和差化积公式。

接下来，我们将继续探讨另一重要公式——积化和差公式。

三角函数积化和差公式的学习

目前，我们主要关注的是正余弦函数的积化和差公式，因此关于正切余切的相关公式将不在此赘述。

虽然积化和差公式看似复杂，但实际上同组相异的两个公式可以归结为一个基本公式，这有助于减少记忆的负担。

同组异乘的积化和差规律

通过观察发现，①式和②式的积都是由同组相异的乘积组成，且涉及的角也是相异的。只需将①式中的α和β两个角的位置互换，即可得到②式。反之亦然。

①和②这两个公式可以视为一个统一的公式，这为我们的记忆提供了便利。

下面分享一个记忆技巧，帮助大家快速掌握该公式：

以sinαcosβ为例，利用之前介绍的正弦的两角和差公式，我们知道sinαcosβ是正弦两角和差公式的起始项。而该公式的末项则是符号相反的，即正弦两角和的公式末项与正弦两角差的公式末项相加结果为零。

sinαcosβ其实就是正弦两角和差公式相加结果的一半，只不过这个结果被放大了两倍。我们可以通过这种方式直接推导出sinαcosβ的积化和差公式。

同理，对于cosαsinβ，我们也可以利用正弦两角和差公式的特性来进行推导。

同组同乘积化和差公式的学习

观察等式左边，我们会发现它们是由同组相同三角函数形式的相乘组成的。

根据两角和差公式中的“余同异”规律，我们知道同组相同乘积只在余弦两角和差公式现。我们可以推断出同组相同乘积的积化和差公式实际上是通过转换到余弦的两角和差公式来推导的。

例如，cosαcosβ就是余弦两角和差公式中的起始项。由于余弦两角和差公式的展开式中包含同组相同乘积，我们可以通过观察和比较符号来推导出相应的积化和差公式。

双正积化和差公式的理解与应用

为了得到sinαsinβ的积化和差公式，我们需要消除cosαcosβ。而为了保持结果为正号，我们可以利用余弦两角和差公式的“余同异”特性来进行推导。

学习技巧

1. 根据积的和是同组同还是同组异来确定使用正弦还是余弦的两角和差公式。

如果是“同组异”相乘，则使用正弦两角和差公式。

如果是“同组同”相乘，则使用余弦两角和差公式。

2. 根据相乘形式的首个形式确定使用两角和公式还是两角差公式的和或差的形式。

具体来说，“同组异”相乘时，首个形式为正弦则用“和”形式；为余弦则用“差”形式。

而对于“同组同”相乘，同样有相应的规律可循。