方差计算公式 E(X)求方差D(X)

当我们提及期待值时，可能有人会感到陌生；但说到平均数，大部分人都能了然于心。实际上，期待值与平均数之间有着某种联系。

让我们通过一个实例来直观地理解期待值的概念。

想象一下，我手中有一个六面体骰子，每个面上都标有一个数字，分别是1至6。若我将此骰子抛出，其向上一面的出现概率分布如下表所示（其中总概率为1）：

为了计算此骰子向上一面的期待值，我们需将每个面出现的概率乘以该面的数字，然后求和。具体计算如下：

1×(1/6) + 2×(1/3) + 3×(1/6) + 4×(1/12) + 5×(1/12) + 6×(1/6) = 37/12

这意味着，当我们多次抛掷这个骰子时，其正面朝上的期望值将趋近于37/12。

若此骰子是均匀的，即每个面朝上的概率都是相同的（即1/6），那么我们求得的期待值是所有面数字的平均值，即(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。</这等同于我们计算了平均数。

我们通常用“E”来表示期待值。

接下来，让我们来解释什么是方差。

假设小明期末考试了六门课，他的成绩分别是60至92分。如何计算小明的成绩方差呢？

我们需要找出小明的平均成绩：

(60+78+77+90+92+83) / 6 = 80

接着，我们分别计算每一门课成绩与平均成绩的差值的平方，并求这些平方的平均值。具体公式如下：

[ (60-80)^2 + (78-80)^2 + ... + (83-80)^2 ] / 6 = 111

此结果就是方差的定义。

方差通常表示数据点的波动程度或与均值的离散程度。如果方差大，意味着数据点离均值较远；反之，则数据点大多集中在均值附近。

标准差是方差的平方根。例如，小明成绩的标准差可以解释为：小明的成绩与均值的差距平均在多少分左右。</这为解释和理解数据分布提供了更直观的方式。

而Z值则是标准化后的结果。在正态分布模型中，Z值表示与均值的相对距离。通过查找Z值表，我们可以知道相应的概率值。</例如，在一个班级中，Z值可以帮助我们比较学生与平均水平之间的差异。

实例：

小明数学考了112分，英语考了108分。已知全市数学平均成绩和方差以及英语的平均成绩和方差。通过计算Z值并查表，我们可以了解小明在全市的数学和英语成绩排名情况以及他哪科成绩相对较好。</此实例说明了不同分布的Z值如何用于比较不同数据集与各自均值的相对距离。