一、概念总述

数学之基础：实数与无限小数关系密不可分。实数涵盖有理数与无理数两大类。其中，有理数又能被细分成整数与分数。若将这两大类都表示为小数格式，有理数即可被描述为固定小数、有限小数或周期小数（如整数或循环小数），如2为2.0，2/5为0.4，1/3为0.3333……等。而无理数则必然是无限不循环小数，如自然对数的底数e（其小数部分永不重复，如2.9045……），又如根号无法开尽的数，如√2（其值持续接近于1.414213562……）。无限不循环小数与循环小数不同，其小数点后数字无穷无尽，无规律可循。

二、定义详解

无限小数的定义可归纳为两点：

① 无限小数指的是无法通过简单计算完整表达的小数，其小数部分永不结束。

② 所谓无限小数，即其小数部分的位数是无限的。

根据这一特点，无限小数可分为循环小数（如1÷3的循环模式0.333……或1÷7等）和非循环小数（如圆周率π或使用超级计算机计算的无限位数的小数）。

小学数学基础

以人教版教材为例，小学五年级的教材明确指出：若一个小数部分位数是无限的，则该小数被称为无限小数。例如，0.57……即为一例。

三、深入理解

数学中的分数实质上是有理数的子集，其定义适用于所有正有理数p/q（其中q≥2）。作为小数的特殊形式，分数与小数是同质异形的关系。根据p/q的规则，当q可以分解为仅包含因数2和5时，分数可表示为有限小数；当q的因数不只包含2和5时，则该分数可用无限小数表示。

实数与数轴上的点一一对应。数轴上的每一个点都代表一个唯一的实数。如何表示非整数点呢？如果将0到1的线段进行细致分割，例如平均分割成十份或更多份，每一个分割点可以标记为相应的小数点（如0.1、0.2、0.3……），以此类推。通过不断细分，我们可以得到十进制的小数。

教学建议

(1) 体验式教学理解无限小数的意义

在授课过程中，教师可以进行算式比赛来帮助学生直观感受无限小数的意义。如比赛让学生计算“1÷3=”或“22÷7=”，学生会在计算过程中体验到小数部分的无穷尽。教师可引导学生观察竖式计算过程，理解余数与商的关系，从而理解无限小数的本质。

(2) 观察推理理解无限小数的含义

通过使用计算器或电脑计算算式并观察结果，教师可引导学生思考：“计算器显示的结果是最终答案吗？”学生将通过推理得出结论：“不是，因为计算器显示的数字只是有限的一部分，真正的答案有无数多个位数。”这样学生可以通过观察来感受和理解无限小数的意义。

四、拓展阅读

(1) 《数学辞海·第一卷》由裘光明编纂，山西教育出版社出版。此书详细解释了无限小数的相关概念。