函数的定义 函数的定义和概念

函数这一概念在我们的学术教材中早已详述。鉴于这一原因，在此处深入地重述其定义就显得略显冗余，更关键的在于如何用简洁、明了的方式理解其核心性质。

函数的实质无非是一个一一对应的映射关系。所谓的一一对应，就是输入一个自变量，即能得到一个唯一对应的因变量。

需要特别注意的是，以下我所有的讨论都围绕自变量和因变量展开，而并未特指是x或y。因为在数学中，并无规定x必然是自变量，y一定是因变量。只要它们满足上述的一一对应关系，即使y作为自变量，x作为因变量，亦是完全合理的。

有时候我们的思维方式可能会固化，认为在函数中，遇到的x总是代表自变量。这是过于的做法，有可能造成严重的误解。其实，只要是在定义域内，自变量都能找到与之对应的因变量。

再进一步要强调的是，理解函数的重点在于“唯一”二字。若存在一个自变量对应两个因变量的情况，那么这便不能称之为函数关系。

答案当然是否定的。虽然因变量必须存在与之对应，但只能有一个。有时我们可能会遇到这样的情况，看似已经是函数关系了，但一个x却对应两个y。面对这样的问题时，关键在于转换我们的思考方式，打破固有思维模式。

这种思维方式的转变之所以重要，是因为它能够帮助我们更清晰地理解函数的概念。例如，当x作为因变量时，y就变成了自变量。通过这样的转换，许多问题便能迎刃而解。

这种灵活的思维方式不仅适用于上述情况，同样可以应用于其他多种问题中。简单来说，交换自变量与因变量的角色，有时可以显著降低问题的难度。

在掌握了上述的解释后，我们对于函数的理解已大致到位。接下来更多的就是一些关于函数性质如自变量、因变量、定义域、值域等的具体细节问题。

关于自变量、因变量等概念的具体内容无需过多赘述，书籍中均有详细解释。但有一点需要注意，那就是函数有界性的概念。

函数的有界性并非简单的指其既有上界又有下界。如果只有上界而无下界的话，我们不能称该函数为有界函数。

对于函数有界性的“界”这一概念应有所区分。比如对于函数y=sinx来说，我们可以说它的界为1（因为其绝对值小于等于1），但如果说它的界为2就有些牵强了。

因此我们需要区分函数的最大值和最小值与有界性的概念。

让我们以一个有界函数的例子来说明。它是否存在最大值和最小值？答案并不一定。如函数y=x在(0,1)这个开区间内是有界函数，但它没有最大值和最小值。

我们已经发现函数的有界性与区间是紧密相连的。通过改变区间可以产生不同的效果。当然一个函数若有最大值和最小值时则必然是有界的这是毫无争议的。

此外让我们讨论函数的单调性时注意它是局部的特性。

这意味着该函数可能呈现一种曲折的形态而非连续的上升或下降趋势。因此我们在判断其单调性时需按区间来分别考虑。

对单调性进行判断时并非直接在全域上判断其单调性而是需要先取几个点来大致描绘出函数的形态。

再次强调单调性的严格性请关注其定义中并没有使用等于号。

当说到当x1小于x2时f(x1)小于或等于f(x2)时我们只能说它是单调不减的不能简单地称之为单调递增的。