对数函数求导 log函数的求导公式

学习的过程中应抱持前瞻的眼光。面对函数的底数与指数中同时出现变量的情境，当我们需探究其极限或导数时，对数法便是一大助力。

以简单实例说明，对于x^x求极限的问题，无论x趋近于定义域内的任何数值或是无穷大，均可借由e^ln(x^x)化简为e^(xlnx)。此后运用复合函数的极限规则，对xlnx求极限并记作A，那么原极限即等于e^A。求导的逻辑亦同理。

运用对数法求极限或导数的常规步骤如下：

(1)将原函数转化为e^ln的格式；

(2)调整原函数的指数，使其成为对数前的系数，化为e^(uln的形式)；

(3)求得vln原函数底数的极限A，或其导数g'(x)；

(4)原极限结果为e^A，而原函数的导数为f(x)乘以g'(x)。其中f(x)为原函数，g(x)则为f(x)的对数形式。

这乃是老黄根据自身经验整理所得，虽路线略显独特，却在脑海内自成一套常规表达。若教材中有相应内容，其描述大约如此：

利用对数法处理f(x)=u(x)^v(x)的极限或导函数的一般步骤为：

(1)将f(x)转化为e^ln的形式；

(3)计算vlnu的极限记作A，或其导数(vlnu)'记作g'(x)；

(4)原极限是e^A，而导数是f(x)与g'(x)的乘积，其中g(x)即f(x)的对数形式。

在探索数学问题时，可以尝试不同的方法，但最终还是要回归到正确的路径上。这其实是一个将新知融入已有知识体系的过程。这正是“学习需要前瞻的眼光”的具体体现。

对于初学者来说，应用对数法时应遵循上述步骤。但若长期学习者仍按部就班进行，则显得过于机械，缺乏灵活运用的眼光。如老黄这般，经过数小时的学习后，已能灵活运用对数法，甚至能跳过部分步骤快速求解。

例如，解决以下极限问题：lim(x→1-) (1-x^2)^(1/ln(1-x))

分析：并非所有含有变量底数和指数的极限都适用对数法。这是一个0的无穷次方型未定式极限。这类问题无法直接求解，需要利用对数法。但若遵循传统四步法求解，过程较为繁琐。老黄通过跳过部分步骤来求解“vlnu”的极限，使得问题得以迅速解决。

解：A=lim(x→1-) (ln(1-x^2))/(ln(1-x))

=lim(x→1-) (2x/(1-x^2))/(1/(1-x))

=lim(x→1-) 2x/(1+x)=1.

原极限结果为e^A=e.