对数正态分布 对数正态分布的期望和方差推导

本章节将深入探讨统计质量控制领域中一系列关键的连续分布类型，它们涵盖了正态分布、对数正态分布、指数分布、伽马分布以及韦布尔分布等。

正态分布介绍：

在质量理论及其实践中，正态分布可能是最为重要的概率分布。当x为正态随机变量时，其概率分布的定义如下：

正态分布的均值范围是(-∞, +∞)，即μ属于实数集，而方差σ^2需大于零。

鉴于正态分布在各个领域中的广泛应用，我们采用特殊符号x~N(μ，σ^2)来标识，其中x代表遵循均值为μ、方差为σ^2的正态分布。

正态分布的形态呈现为对称的单峰曲线，如钟形一般。请参见下图以获得更直观的理解：

以下是对正态分布标准偏差σ的简要说明。值得注意的是，总体数值中有68.26%会落在均值上下各一倍标准偏差的范围内( μ± 1σ)，95.45%的数值位于( μ± 2σ)的范围内，而高达99.73%的数值将处于( μ± 3σ)范围内。

标准偏差用于衡量与68.26%、95.46%和99.73%控制限相关的水平刻度上的距离。常规做法是将这些百分比四舍五入至68%、95%和99.7%。

累积正态分布是指正态随机变量x小于或等于某一特定值a的概率。

尽管这一积分的封闭形式求解较为复杂，但可以通过变量变换来进行近似计算。