数列极限的求法 极限的求法整理归纳

今日我们将深入探讨高等数学中的一大核心概念——极限。为避免冗余，我们将略过极限定义及常用极限计算的部分。

对于大多数基础函数和数列，其极限的判断往往直观明了。如1/n当n趋向于无穷大时，其极限为0；又如n的平方当n趋向于无穷大时，其极限为无穷大等。面对一些较为复杂的函数，我们需要借助一些简便的极限计算方法。

今天，我们将着重介绍两种方法——夹逼法和换元法。

夹逼法在数学领域中应用广泛，尤其在数学竞赛中常有所见。其原理相当简单：当面对一个难以确定范围的函数f(x)，我们可以找到两个范围较易确定的函数g(x)和h(x)，并利用它们的范围来“夹逼”f(x)的范围。

简而言之，夹逼法就是当我们直接求解某函数有困难时，通过“曲线救国”的方式，用其他容易计算的函数进行替代，间接求解。

理解了夹逼法的概念后，我们再来看它在数列极限中的应用实例。

假设我们面对一个数列 {xn}，想要确定其极限。若找到两个数列 {yn}和{zn}满足一定条件，那么{xn}的极限便呼之欲出。

此处不展开证明过程，我们直接从直觉出发，结合数学定义来审视这一过程。

接下来，我们以一个实例来具体说明。猜猜看，当x趋向于0时，sinx与x的比值的极限是多少？虽然我们的直观感觉是两个都趋向于0的比值应该是1，但要严格证明这一点还需运用数学方法。

此证明巧妙地运用了之前提及的夹逼法，并借助了一张图示进行解释。图中展示了三角形面积与扇形面积的关系。

在几何学中，我们常将扇形视为特殊的三角形来处理。其面积可以通过弧长与半径的比值计算得出。结合其他三角形的面积关系，我们可以推导出sinx与x之间的关系。

至于换元法，在教科书中又被称为复合函数的极限运算法则。当我们面对形如y=f[g(x)]的函数时，通过换元，令u=g(x)，可以更方便地求解极限。

这一方法的正确性同样可以通过极限的定义来证明。这里不展开详细证明过程，感兴趣的朋友可自行尝试。

以一个练习题为例，巩固换元法的使用。同样面对一个复杂的极限表达式，我们首先运用和差化积等方法进行变换，再借助换元法轻松求解。

通过夹逼法和换元法，我们能够轻松应对一些看似棘手的极限问题。这些方法在求极限的过程中被频繁使用。尽管上述公式看起来有些复杂，但只要静下心来，深入理解其背后的逻辑，必定能掌握其精髓。

参考资料

同济大学《高等数学》第六版

《程序员的数学》