三角形角平分线性质 角平分线的三个典型结论及推论

在初中几何的探索之旅中，角平分线这一概念是值得我们深入研究的。它所蕴含的数学特性不仅丰富，而且颇具启发性。

特性一：角平分线上的任一点到角两边的距离均等。

此特性专注于角这一平面图形的对称性。想象一下，若在角的两边分别截取等长的线段，并连接这两条线段的端点与角平分线上的任意一点，便会形成一个轴对称的图形。

例如，若AF等于AE，那么GF也将等于GE。

除了这一特性，角平分线还有其他的有趣发现。

如图所示，在某个三角形中，当∠B的角平分线交AC于点D时，该三角形的三边记为a、b、c。接下来让我们一同探索其中的奥秘。

对于具有固定三边的三角形，当我们作∠B的角平分线时，这个角平分线与第三边AC的交点D是确定的吗？在人教版教材的第56页，我们已经对这一问题有了初步的答案。根据上述特性，我们可以通过点D向两边作垂线，垂足分别为I和H。由于DI等于DH，我们可以得知△ABD与△CBD等高。它们的面积比就等于底边的比。

进一步地，我们可以得到

特性二：三角形的一个角的角平分线将第三边按一定的比例分割，这个比例恰好等于两边的长度之比。

既然点D的位置已经确定，那么BD这条角平分线的长度又是如何确定的呢？

由于D点的位置已经明确，即AD和CD的长度已经确定，我们可以利用余弦定理或向量方法进行计算。

值得一提的是，Stewart定理为我们提供了另一种方法。只要点D是AC上的一个确定位置，我们就可以使用公式来计算BD的长度。对于角平分线的情况，我们为三角形提供了以下公式来计算角平分线的长度。

这个公式涉及到∠B的角平分线段BD的长度。

除此之外，还有一个值得注意的公式：

特性三：在△ABC中，其角平分线BD的长度满足一定的等式关系，即“中方等于上积减下积”。

为了证明这一点，我们可以借助△ABC的外接圆。延长CD并使其与外接圆相交于点K，然后连接AK。利用角分和等弧对等角的性质，我们可以得到两组相似三角形。从这些相似关系中，我们可以推导出所需的等式。

总结：如上图所示，当DI⊥AB且DH⊥BC时，与角平分线相关的结论如下。

（1）...

（2）...

（3）...

虽然性质三可能对初中生来说有些复杂，但性质二却是我们必须牢记的。在初中的几何世界里，除了角平分线，高线和中线也是值得研究的课题。至于如何求解已知三边的三角形的高和中线，且听下回分解！[轻笑] 这一切并不复杂，只是希望为大家提供一个清晰的总结。