向量共线的公式 向量a与b共线公式

19.4 空间向量及其运算概述

一、空间向量的基本概念

在三维空间中，具有大小和方向的量被称为空间向量。这种向量的长度或模，我们称之为向量的大小。

（1）空间向量：它是空间中的基本元素，带有特定的方向和大小。

（2）相等向量：当两个向量的方向一致且大小相等时，它们被视为相等向量。

（3）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量被称为共线向量或平行向量。

共线向量之间可以通过平移到同一直线上进行比较。例如，若a与b共线，我们可以使用标记 a∥b 来表示这种关系。

（4）共面向量：只有那些平行于同一平面的向量才能被称为共面向量。

二、空间向量中的相关定理

（1）共线向量定理：在空间中，对于任意两个向量a和b（b不为零向量），如果a与b共线，那么存在一个实数λ，使得a等于λ乘以b。

这个定理帮助我们理解和处理共线向量之间的关系。

（2）共面向量定理：当两个不共线的向量a和b与第三个向量p共面时，存在唯一的一组有序实数(x, y)，使得p可以表示为xa加上yb。

这个定理为我们提供了判断向量是否共面的方法。

在几何学中，证明点共面问题可以转化为证明向量共面问题。例如，要证明P、A、B、C四点共面，可以通过证明相应的向量满足某种线来实现。

（3）空间向量基本定理：如果三个不共面的向量a、b、c可以构成空间的一个基底，那么对于空间中的任意向量p，都存在一组唯一的有序实数，使得p可以表示为xa加上yb再加上zc。

这一基本定理是空间解析几何的基础，它为我们提供了处理空间向量的有效工具。

在任何情况下，基底的选择都不是唯一的，只要这些向量不共线即可。基底中不能包含零向量，因为零向量与任何非零向量都共线。