三角形重心是什么 三角形重心定义和性质

在之前的分享中，我们曾经讨论过一道运用三角形旁心性质巧妙解答的求角度问题，这一内容收到了众多读者的咨询与探讨。旁心，作为三角形五心之一，虽然出场率较低，但其独特的性质却为几何问题带来了新的解题思路。今天，我们就来详细解读一下这个神秘的“旁心”。

若您想重温那道求角度的几何题，只需点击此处链接即可回溯：

现在步入正题：

所谓三角形的旁切圆圆心，简称旁心，它是三角形一个内角的平分线与其他两个内角的外角平分线的交点。很明确的一点是，任何三角形都拥有三个旁切圆及三个旁心。

以三角形ABC为例，如图所示，角C的外角平分线CD与角B的外角平分线BD相交于点D。D便成为了三角形ABC的一个旁切圆圆心，也即旁心。

三角形旁心的性质详解如下：

性质1：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点是三角形的旁心。

证明过程如下：以上图为例，CD与BD交于D点。取旁切圆圆心D与直线AC和AB的切点E和F。连接DE、DF，可知角DEA和角DFA均为直角。由于DE和DF均为半径，故DE=DF。再结合其他条件，可以证明三角形ADE与三角形ADF全等，从而得出角DAF=角DAE，即AD平分角A。

性质2：旁心到三角形三边的距离相等。

这一性质可根据角平分线的性质进行推导。

性质3：一个三角形拥有三个旁切圆及三个旁心。并且，旁心一定位于三角形外部。

根据三角形的特性，两条三角形外角平分线的交点必然在三角形外部。

性质4：在直角三角形中，斜边上旁切圆的半径恰好等于三角形周长的一半。

证明过程中，以BC与圆D的切点G为例。通过一系列的推理，最终可以得到四边形AFDE为正方形，进而得出AE及AF均等于圆D的半径。

除了以上性质，旁心三角形（由三个旁心组成的三角形）还有许多迷人的性质等待读者去探索。例如，H、C、D三点共线等。

特别值得一提的是，旁心三角形的垂心实际上是原三角形的内心。HB、AD、CI线的交点O就是三角形ABC的内心。图中红色的圆是内接圆，与三个旁切圆均相切。而紫色的圆则是旁心三角形HDI的外接圆，也被称为“贝文圆”。