傅里叶变换的性质 傅里叶变换的三个基本性质

本文将深入探讨傅里叶变换的延伸——拉普拉斯变换(Laplace Transform)，并详述其常用性质与定理。

提及Pierre-Simon Laplace

我们正式陈述（单边）拉普拉斯变换的定义：

在此定义中，s作为复数频率参数，而和为实数。函数f(t)经过此变换后得到F(s)。

接着，我们再来看傅里叶变换的官方定义：

这就是函数的傅里叶变换形式。

傅里叶变换揭示了，满足特定条件的非周期函数可以展开成傅里叶积分。这一过程实质上是在频域上对信号进行分解，将信号表达为一连串窄脉冲的组合。亦可理解为函数f(t)被分解到一系列不同频率、幅值恒为1的单位圆上。对于未能理解傅里叶变换物理意义的朋友，可参阅我之前的文章（具体文章链接请自行查找）。

傅里叶变换作为连接时域与频域的桥梁，为人们打开了通往频域世界的大门。傅里叶变换存在一个严格的限制条件，即只有满足狄利克雷条件的信号才可应用傅里叶变换。

鉴于此限制，许多函数因不满足绝对可积条件而无法直接应用傅里叶变换。对此，聪慧的数学家们提出了一种解决方案：他们想到通过乘以一个具有快速衰减特性的函数来帮助原函数满足绝对可积的条件。

这种处理方法极富创意。简单来说，就是为非绝对可积的函数f(t)寻找一个助手函数，两者相乘后形成的新函数能满足绝对可积的条件。

这个新策略的数学表达形式如下：

这样操作后，我们就能对原先的函数f(t)进行如下形式的傅里叶变换：

然后，我们设定一个关系式为：

这样我们就得到了拉普拉斯变换的正式定义。

由此可以看出，拉普拉斯变换与傅里叶变换的主要区别在于其将函数分解到频率和幅值都在变化的圆上。由于拉普拉斯变换涉及两个变量，因此其适用范围更为广泛。

为了便于实际应用，接下来我们将直接列出自动控制中拉普拉斯变换的性质与定理（引用自百科）。

初值定理的应用：

终值定理的应用：

值得注意的是，终值定理在应用时需注意s取值为0的情况。s=0的点必须在sF(s)的收敛域内，否则无法应用终值定理。

在自动控制的原理中，我们特别关注响应的最终状态。利用终值定理可以简便地求得系统响应的稳定值，这一方法大大简化了繁琐的计算过程。

例如，当求解一阶惯性环节的阶跃响应时：

若使用传统的拉普拉斯变换方法，计算过程将涉及先求C(s)的拉普拉斯反变换，再计算极限值。

利用终值定理则可一步到位地得出结果。