等差数列求和公式sn 等差数列sn的前n项和公式

对于给定的等差数列an，其公差d为1，并且有求和公式Sn=a1^2+a2^2+...+an^2。

我们来探索一下如何求得1^2+2^2+3^2+...+n^2的和。

观察规律，我们发现结果的表达形式像是n的三次方。于是，我们可以通过一个与n³相关的公式来求解。

注意到(n+1)³的展开式与前n个数的三次方和加上一些其他项有关。具体地，有：

(n+1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1

通过逐一减去前一个数的三次方，我们可以得到一个关于n²的等式。例如：

(n+1)³ - n³ = 3n² + 3n + 1

(n+1)³ - 1 = 3(1² + 2² + ... + n²) + 3(1 + 2 + ... + n) + n

解出上式后，我们可以求得所要求的平方和的公式：

1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

进一步拓展：

对于任意的等差数列an，其求和Sn也遵循类似的规律。

考虑an²的值，它可以被展开为(a1+(n-1)d)²，其中d是公差。

由此我们可以得到：

an² = a1² + 2a1(n-1)d + (n-1)d²

结合前面的结果，我们得出Sn的公式为：

Sn = na1² + 2a1d(1+2+...+(n-1)) + d²(1²+2²+...+(n-1)²)

= na1² + n(n-1)a1d + d² × (n-1)n(2n-1)/6

特别地，当首项a1为1，公差d为1时，上述公式就变成了前n个自然数的平方和的公式。

现在你已经掌握了这一技巧，不妨试试手，进行一些练习吧。

练习题：计算1×2+2×3+...+99×100。