麦克劳林级数展开式 10个常用麦克劳林公式的内容

在解析数学难题时，常常会遇到各种函数的组合，如sin、ln、ex、1/x等，进行四则运算。虽然洛必达法则看似“简便”，但其应用条件繁多，有些出题者更会故意设置无法使用洛必达的题目，令初学者感到无从下手。

极限运算、等价无穷小、代入等操作十分繁琐，一旦出错，往往难以察觉错误所在。幸运的是，万能的方法——泰勒展开来了！

泰勒展开不仅能帮助我们解题，更重要的是，它能解释何时洛必达法则不适用。

除了泰勒展开，文章末尾还提供了其他方法的函数近似例子，以供读者参考。

自从导数被发现以来，数学家们如同发现新般，不拘一格地深入研究其性质。某天，他们惊讶地发现y=sin⁡x与y=x在原点附近有较高的重合度。

那么，是否可以用y=x来近似代替y=sin⁡x在原点处的一小段图像呢？

数学家们绝不止步于此。他们进一步发现，y=x−x36比y=sin⁡x更接近，一次函数在原点附近相似，而高次函数则更能贴合正弦函数的曲线。

那么，是不是次数越高，就越能精确地近似呢？答案是肯定的。例如，这是一个47次多项式对正弦函数的近似。

按照数学家的习惯，他们能从一维推导到二维、三维，乃至无穷维度。对于这种规律，他们自然不会放过探索。于是，泰勒就在使用幂函数近似其他复杂函数的道路上越走越远。

最终，他们走到了任意项的阶段。有人会问：“每个点的函数值不就能代表一切吗？”回答是：不仅如此，但若仅止于此，那就未触及函数的深层奥秘。

假如知道了函数上的一个点和其导函数，同样可以确定这个函数。学过积分后，你就会明白，其实把导数积分，再带入那个点的值确定常数C，就能得到原函数。

这里的关键是，我们可以用某点处所有阶导数的值来代表一个函数。再配以n阶导数对应的n次幂函数，便得到了泰勒展开公式。

为什么会选择幂函数呢？因为五大初等函数中，只有幂函数可以通过有限次求导变为0。而且，泰勒展开的目的就是用简单函数近似复杂函数，没必要用更复杂的函数来自增烦恼。

至于公式中的阶乘，那是由于分子xn求n阶导数得到n!的结果，最后为了消除系数而进行相应操作。

为了更直观地观察，我们把泰勒公式逐项写出并进行对比。左边大概率不是一个幂函数，如sin⁡x，而右边则是一个幂函数。通过泰勒展开，我们可以更清晰地看到函数的本质。

具体到实际应用中，泰勒展开在求极限时具有独特优势。凡是洛必达能做的，泰勒公式都能做；洛必达不能做的，泰勒公式还能做。简单来说，洛必达法则如同挤牙膏般逐步求解，而泰勒展开则一劳永逸地将任意函数转换为幂函数，使其性质一目了然。

下面以一个具体例子来说明这一点。在极限趋于0/0的情况下，决定极限结果的通常是次数较低的项。通过泰勒展开后观察各项系数和次数的关系就能更快地找到解决方案而无需多次使用洛必达法则。