等边三角形的面积 等边三角形面积是底x高÷2吗

一道高中数学题——等边三角形面积求解

在等边三角形ABC内，存在一点P，已知其与各边的距离分别为PA=8，PB=6，PC=10。我们的目标是求出这个等边三角形的面积。

观察这一现象，我们发现通过巧妙地组合这线段，可以构成一个直角三角形。

于是，我们可以作出如下的辅助三角形ABP'。

具体操作是：将三角形ACP围绕点A顺时针旋转60度，这样便能形成点P'。可以清楚地看出三角形APC与三角形AP'B完全重合。

这样一来，就有AP=AP'，同时P'B=PC。因为∠P'AB与∠BAC的和等于∠PAC与∠BAP的和，都是60度，且AP与AP'的长度相等。

三角形AP'P是一个等边三角形，所以P'P的长度也等于AP的长度，即8。

在三角形P'PB中，P'B等于PC，BP已知为6，P'P已知为8。这样看来，三角形P'PB正是一个直角三角形。

我们设∠BP'P为α。

利用正弦和余弦的定义：

正弦sinα的值为对边BP与斜边P'P的比值，即sinα=6/10=3/5；

余弦cosα的值为邻边PP与斜边P'P的比值，即cosα=8/10=4/5。

由此可知，∠BP'A的角度为α加上60度。

在三角形AP'B中，我们可以利用余弦定理来进一步求解。而等边三角形的面积也有其特定的求解方法。

解法2：还可以运用高中阶段的解析几何知识来处理这个问题。通过设定底边的中点为坐标原点，然后利用两点之间的距离公式列出三个方程进行求解。但这种方法计算过程相对复杂。