等边三角形面积怎么算 三角形面积 公式

一道初中几何题目：求两个等边三角形的面积比例。

设想一个等边三角形ABC内接另一个等边三角形DEF，且DEF的其中一边垂直于ABC的一边BC。我们需要找出三角形DEF与三角形ABC的面积比例。

解决这个问题，我们可以首先证明等边三角形DEF周围的三个小三角形与其它三角形全等。

简单来说，可以证明三角形DEC与三角EFA全等。这是由于：

已知∠EDC为90°，且∠ECD为60°，那么∠DEC则为30°。

又因为等边三角形DEF的∠DEF也为60°，所以∠FEC与∠DEF之和为90°。

这意味着FE垂直于AC，从而这两个三角形DEC和EFA的对应角都相等。

再观察它们的直角边，发现EF与DE长度相等。根据角边角的定理，我们可以断定这两个三角形全等。同样的逻辑也适用于第三个三角形DFB。

DC的长度与EA相等。若我们设定AC的长度为a，ED的长度为b，

在三角形DBC中，利用30°-60°-90°的直角三角形关系，我们可以推导出：

DC的长度是b的三分之根号三倍，EC的长度是二分之根号三倍的b。

由此得知，AC的长度等于EC与DC之和。

计算得出AC的长度为根号三倍的b。

由于三角形DEF与三角形ABC是相似的，它们的面积之比等于相似比的平方。而这里的相似比为b与a的比值，即b比上根号三倍的b，简化为1比根号三。

两个三角形的面积之比为1比3。