真包含和包含的区别 _是真包含于的意思

关于集合的理论与应用

在数学的浩瀚海洋中，有一门分支名为集合论，它作为众多数学研究的基础而存在。我们在高中时期就接触了关于集合的基本概念及其表达方式。

集合的定义

集（set）是一个无序的元素（element）或要素（member）的集，其经过明确的定义与界定。这里的元素或要素可以用两种方法进行描述，一种是基于明确的规则或说明来标识，另一种是将所有的要素明确列举在大括号内。例如：

A集包含了前四个正整数的所有数。

B集则是根据法国的颜色的总和进行划定的。

我们可以这样表示：A={4，2，1，3}，B={蓝，白，红}。在集合A中，数字4、2、1、3没有特定的顺序，因此集合的元素不具有排序性，故{4，2，1，3}与{3，1，2，4}是同一集合。

一、集合的描述

当使用描述性方式表达集合时，我们可以用大括号标明集合的要求及其满足的条件，其中条件使用“或”来分隔。例如：描述20个最小的非负整数的平方减去4的集合可以表示为：F={n²-4|n≥0}。如果某个成员a属于集合A中的元素，那么用数学符号表示为a∈A。例如在上例中4是A的一部分(a∈A)，但285不属于F(不在其范围)，9则不构成B的一部分（绿不属于B的构成）。

二、子集关系

若集合A的所有元素均是B的元素，则称A为B的子集（subset），用符号表示为A⫅B。这里包含多种实例如：

- 全部的人类都可以被视为生命的子集。

- 集{4，3}是{4，2，1，3}的子集之一。

- 所有的集合都可以被认为是自己的子集，例如{1，2，3，4}是其自身的子集且属于它自身(A⫅A)。如果两个集合的元素完全一致，那么这两个集合就是相等的（即A=B），并且只有在满足A是B的子集和B是A的子集的情况下才会出现这种关系（即A⫅B且B⫅A）。

三、交集与并集

交集和并集是处理两个或多个集合时常用的概念。两个集合共有的部分被称为交集（intersection），记作A∩B。而两个集合所有元素组成的总和被称为并集（union），记作A∪B。例如：

- {1, 2}与{R, W}的交集是空集。

- {1, 2, 绿}与{红, 白, 绿}的交集只包含绿色这一元素。

- 两个完全相同的集合（如{1, 2}与自己进行并集运算）将维持其原有内容不变。

四、补集

在集合中还可以引入补集的概念。若某个元素不属于某U中的某个子集A，那么这个元素就构成了A的补集（complement）。对于给定的U和子集A，U中除了A的所有元素都构成了A的补集（记作A'）。例如在U={1,2,3,4}中，若A={3,4}则其补集A'={1,2}。同时也可以考虑两个集合之间相对的补集关系。

五、计数原理

在处理集合问题时常常会涉及到计数问题。一个重要的公式为：n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)。这为我们提供了计算两个集合并集中元素数量的方法。例如在某项调查中通过此公式可以推算出观看冰球比赛的家庭数量。