等价无穷小替换条件 极限与连续导数

题型一：识别二重极限不存在的状况

描述二重极限不存在的常用手段时，可采取两条不同路径，当函数f(x，y)在点(x0，y0)处沿不同路径的极限值不相等，或者存在某特定路径使得f(x，y)在点(x0，y0)处的极限不存在，均可断定二重极限f(x，y)在点(x0，y0)处不存在。

例一：

以下二重极限不存在的证明：

通过分析，我们可以看到，无论沿何种路径趋近于该点，极限都不存在，从而证明了该二重极限不存在。

总结：

通过证明沿不同路径趋近于点(x0，y0)时极限值不相等，是验证二重极限不存在的一种常用手段。

题型二：求解二重极限

解决二重极限问题常用方法如下：

（1）利用极限的基本性质如四则运算规则和夹逼原理；

（2）通过对含有极限为零分母的因子进行有理化或使用等价无穷小代换等方法消去分母中的极限；

（3）将问题转化为一元函数的极限问题，利用一元函数求极限的方法求解；

（4）运用无穷小量与有界变量之积为无穷小量的原理。

例二：

以下二重极限的求解过程：

解法一：对分子进行有理化处理后求解。

解法二：将问题转化为一元函数的极限问题并求解。

解法三：利用等价无穷小进行代换后求解。

题型三：探讨二元函数的连续性与偏导数存在性

处理这类问题通常依据函数连续和偏导数的定义进行分析。

例三：

通过对偏导数定义的应用，我们可以得出结论。

总结：