椭圆方程公式推导过程

椭圆方程公式的推导过程如下：

首先，设椭圆上的点为$P(x,y)$，两个焦点分别为F1​(−c,0)和F2​(c,0)。

根据椭圆的定义，任意一点$P$到两个焦点F1​和F2​的距离之和等于常数$2a$，即：

PF1​+PF2​=2a

其中，$a$是椭圆的长半轴。

接下来，利用两点间的距离公式，可以计算出PF1​和PF2​的长度：

PF1​=(x+c)2+y2​
PF2​=(x−c)2+y2​

将这两个表达式代入椭圆的定义式，得到：

(x+c)2+y2​+(x−c)2+y2​=2a

为了消去根号，对方程两边平方，得到：

(x+c)2+y2+2(x+c)2+y2​⋅(x−c)2+y2​+(x−c)2+y2=4a2

进一步整理，得到：

2x2+2y2+2c2+2(x2−c2+y2)2−4c2y2​=4a2

由于b2=a2−c2（其中$b$是椭圆的短半轴），可以将上式中的a2替换为b2+c2，得到：

2x2+2y2+2c2+2(x2+y2−c2)2−4c2y2​=4(b2+c2)

进一步整理，得到：

(x2+y2−c2)2−4c2y2​=2b2−x2−y2

两边平方，得到：

(x2+y2−c2)2−4c2y2=(2b2−x2−y2)2

展开并整理，得到：

b4x2+a4y2=b4a2

最后，将上式两边同时除以b4，得到椭圆的标准方程：

a2x2​+b2y2​=1

这就是椭圆方程公式的推导过程。