回归直线方程公式（求解方法及实际应用）

线性回归是利用数理统计中的回归分析来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。它属于变量间相关关系的一部分，考查概率与统计知识，考察学生的阅读能力、数据处理能力及运算能力，题目难度中等，应用广泛。

一 线性回归方程的公式

二 规律总结

(3)回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法。主要用来解决：

①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；

②根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；

③求线性回归方程。

三 线性回归方程的求法

例1

四 线性回归方程的应用

例2

例3

例4

例5

例6

推导2个样本点的线性回归方程

例7 设有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。

解：根据最小二乘法，假设

，那么样本点到该直线的“距离之和”为

我们可以得出结论：当

时，b取得最小值。将

代入“距离和”计算式中，视其为关于b的二次函数，再利用配方法，我们可以得知：

因此得到直线方程为：

假设AB中点为M

，则线性回归方程为

由此可见，由两个样本点推导的线性回归方程便是过这两点的直线方程。这与我们的常识相一致：对于两个样本点，最好的拟合直线就是过这两点的直线。

上述的推导方法是基于最小二乘法对包含两个样本点的线性回归直线方程进行的，主要包括对关于a和b的二次函数都进行了研究，通过配方法来求其最值及所需条件。事实上，根据线性回归系数计算公式：

从而得到线性回归方程为

假设AB中点为M

，那么线性回归方程为

。

求回归直线方程

例8 在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度

下，溶解于100份水中的硝酸钠份数

的数据如下

记录散点图并求其回归直线方程.

解：建立坐标系，画出散点图如下：

由散点图可以看出：两组数据呈线性相关性。设回归直线方程为：

由回归系数计算公式：

可求得：b=0.87，a=67.52，从而回归直线方程为：y=0.87x+67.52。

三、综合应用

例3、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：

（1）求回归直线方程；（2）估计使用10年时，维修费用约是多少？

解：（1）设回归直线方程为：

（2）将x = 10代入回归直线方程可得y = 12.38，即使用10年时的维修费用大约是12.38万元。

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▍ 编辑：Wordwuli

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