回归直线方程公式详解（斜率和截距的意义及应用）

线性回归是利用数理统计中的回归分析来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，是变量间的相关关系中最重要的一部分，主要考查概率与统计知识，考察学生的阅读能力、数据处理能力及运算能力，题目难度中等，应用广泛．

在数理统计中，线性回归模型通过对自变量与因变量之间的线性关系进行建模，我们可以得到一个线性方程来描绘这种关系。

下面给出线性回归方程的著名表述方法：

在这里，回归直线方程的斜率为b，截距为a。

线性回归方程的另一种常见形式可以表示为：

(3)回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要用来解决：

①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；

②根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；

③求线性回归方程．

现在，我们以一个具体的例子来介绍线性回归方程的求法。

例1

对于线性回归方程，在实际生活中也有着许多应用。

例2

例3

例4

例5

例6

推导2个样本点的线性回归方程

例7 设有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。

在回归直线方程的求解过程中，我们用到了最小二乘法来确定相应的直线方程公式。当样本点到该直线的距离之和为最小时，b有最小值。如果我们将这个过程代入“距离和”计算式中，并把距离和视作关于b的二次函数，再用配方法，就可以得出b的最小值。

具体来说，我们可以将直线方程表示为：

直线方程：y=ax+b

然后，我们使用最小二乘法进行计算，得到b的最小值：

直线方程：y = 35x + b

在这个过程中，我们用到了样本点的特性来进行推导，最后得到了过这两点的直线方程，这就是我们的线性回归方程。

我们还可以用线性回归系数计算公式进行计算：

线性回归方程：y = 35x + 222.5

在求解回归直线方程的过程中，我们还可以用到散点图来进行绘制，并用散点图的特点来解答。

例8：在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度下，溶解于100份水中的硝酸钠份数的数据如下：

经过绘图后，我们可以看到散点图的大致趋势

散点图显示：两组数据呈现线性相关。假设回归直线方程为：

使用回归系数计算公式：

结果是：b=0.87，a=67.52，因此回归直线方程为：y=0.87x+67.52。

三、综合应用

例3、假设某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的统计数据如下：

（1）计算回归直线方程；（2）预测使用10年时的维修费用约为多少？

解：（1）设回归直线方程为：

（2）代入x = 10得到y = 12.38，因此使用10年时的维修费用约为12.38万元。

▍ 来源：综合网络

▍ 编辑：Wordwuli

▍ 声明：如有侵权，请联系删除；若需转载，请注明出处。