正四棱柱
探索棱柱与棱锥的组合
作者:扬帆起航552
来源:小谜题大世界
在上期内容中,我们探讨了三种基本几何体——棱锥、台塔和丸塔之间的组合,并从中发现了10种约翰逊多面体。本期我们将进一步探索棱柱与基本几何体的组合,首先从棱柱与棱锥的组合开始。
棱锥的种类
我们知道,由正多边形构成的棱锥主要分为三种:
1. 正三棱锥: 等棱长,底面为正三角形,侧面为正三角形。
2. 正四棱锥: 等棱长,底面为正方形,侧面为正三角形。
3. 正五棱锥: 等棱长,底面为正五边形,侧面为正三角形。
棱柱与棱锥的组合方式
根据棱锥在棱柱上的接合位置,我们可以将组合方式分为以下三种:
1. 接在顶面/底面: 棱锥的底面与棱柱的顶面或底面相接。
2. 接在侧面: 棱锥的底面与棱柱的侧面相接。
3. 同时接在顶面/底面和侧面: 棱锥同时与棱柱的顶面/底面和侧面相接。
接下来,我们将对这三种组合方式进行详细讨论。
(一)棱锥接在棱柱的顶面/底面
这种组合方式下,可供选择的棱柱有三种:正三棱柱、正四棱柱和正五棱柱。如果考虑棱锥侧面与棱柱顶面相接的情况,则只需考虑正三棱柱的顶面接正四棱锥或正五棱锥(我们将正三棱锥的各个面都视为底面)。通过实际操作(例如使用磁力片)可以发现,这种情况下得到的都是凹多面体,不符合约翰逊多面体的定义。
我们只考虑棱锥底面与棱柱顶面/底面相接的情况。
如果只在一个顶面/底面接一个棱锥,可以得到正三棱锥柱、正四棱锥柱和正五棱锥柱。
如果在上下顶面各接一个棱锥,则可以得到双三棱锥柱、双四棱锥柱和双五棱锥柱。
(二)棱锥接在棱柱的侧面
等棱长的棱柱,侧面均为正方形,因此能够与之相接的棱锥只能是正四棱锥。
正四棱锥的侧面与底面的夹角约为54.74°。
棱柱顶面的每个内角不能超过 180° - 54.74° = 125.26°。
已知:
正六边形的每个内角为120°。
正七边形的每个内角为128.57°。
与棱锥相接的棱柱最多为正六棱柱。
另外:
对于正三棱柱,可以在两个相邻侧面各接上一个正四棱锥,因为 60° + 2 × 54.74° 180°。
对于正五棱柱及以上,显然更无法在两个相邻侧面各接上一个正四棱锥。
棱锥接在棱柱侧面的情况下,可以得到以下9种结果:
1. 侧锥三棱柱、二侧锥三棱柱、三侧锥三棱柱
2. 侧锥五棱柱、二侧锥五棱柱
3. 侧锥六棱柱、双侧锥六棱柱、二侧锥六棱柱、三侧锥六棱柱
需要注意的是,上述结果中没有正四棱柱,因为正四棱柱本身就是正方体,其侧面与顶面是相同的,因此所有可能的结构都包含在情况(一)中的正四角锥柱和双四角锥柱中。
(三)棱锥同时接在顶面/底面和侧面
由于顶面和底面的位置是相同的,我们可以假设棱锥同时与棱柱的顶面和侧面相接。
顶面可以接正三棱锥、正四棱锥或正五棱锥,其侧面与底面的夹角分别约为 70.53°、54.74° 和 37.38°。
侧面只能接正四棱锥。
如果用一个垂直于顶面和侧面的平面去截取这个组合体,其截面将包含一个内角至少为 37.38° + 90° + 54.74° = 182.12° > 180°。而凸多面体的定义要求任何一个平面去截取它时,截面都应该是凸多边形。
棱锥同时接在顶面/底面和侧面的情况下无法构成约翰逊多面体。
总结
棱柱与棱锥组合可以构成以下15种约翰逊多面体:
正三棱锥柱
正四棱锥柱
正五棱锥柱
双三棱锥柱
双四棱锥柱
双五棱锥柱
侧锥三棱柱
…… (其他七种)
二侧锥三棱柱
三侧锥三棱柱
侧锥五棱柱
二侧锥五棱柱
侧锥六棱柱
双侧锥六棱柱
二侧锥六棱柱
三侧锥六棱柱
最后提个问题:一个正四棱锥的侧面接一个正三棱锥,结果有几个面?答案下期揭晓。
参考文献:
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约翰逊多面体. 北城百科网
https://www.beichengjiu.com/mathematics/172649.html