正四棱柱

我的营销网 2024-07-11 19:36:07 16浏览

探索棱柱与棱锥的组合
作者：扬帆起航552
来源：小谜题大世界
在上期内容中，我们探讨了三种基本几何体——棱锥、台塔和丸塔之间的组合，并从中发现了10种约翰逊多面体。本期我们将进一步探索棱柱与基本几何体的组合，首先从棱柱与棱锥的组合开始。
棱锥的种类
我们知道，由正多边形构成的棱锥主要分为三种：
1. 正三棱锥：等棱长，底面为正三角形，侧面为正三角形。
2. 正四棱锥：等棱长，底面为正方形，侧面为正三角形。
3. 正五棱锥：等棱长，底面为正五边形，侧面为正三角形。
棱柱与棱锥的组合方式
根据棱锥在棱柱上的接合位置，我们可以将组合方式分为以下三种：
1. 接在顶面/底面：棱锥的底面与棱柱的顶面或底面相接。
2. 接在侧面：棱锥的底面与棱柱的侧面相接。
3. 同时接在顶面/底面和侧面：棱锥同时与棱柱的顶面/底面和侧面相接。
接下来，我们将对这三种组合方式进行详细讨论。
（一）棱锥接在棱柱的顶面/底面
这种组合方式下，可供选择的棱柱有三种：正三棱柱、正四棱柱和正五棱柱。如果考虑棱锥侧面与棱柱顶面相接的情况，则只需考虑正三棱柱的顶面接正四棱锥或正五棱锥（我们将正三棱锥的各个面都视为底面）。通过实际操作（例如使用磁力片）可以发现，这种情况下得到的都是凹多面体，不符合约翰逊多面体的定义。
我们只考虑棱锥底面与棱柱顶面/底面相接的情况。
如果只在一个顶面/底面接一个棱锥，可以得到正三棱锥柱、正四棱锥柱和正五棱锥柱。
如果在上下顶面各接一个棱锥，则可以得到双三棱锥柱、双四棱锥柱和双五棱锥柱。
（二）棱锥接在棱柱的侧面
等棱长的棱柱，侧面均为正方形，因此能够与之相接的棱锥只能是正四棱锥。
正四棱锥的侧面与底面的夹角约为54.74°。
棱柱顶面的每个内角不能超过 180° - 54.74° = 125.26°。
已知：
正六边形的每个内角为120°。
正七边形的每个内角为128.57°。
与棱锥相接的棱柱最多为正六棱柱。
另外：
对于正三棱柱，可以在两个相邻侧面各接上一个正四棱锥，因为 60° + 2 × 54.74° 180°。
对于正五棱柱及以上，显然更无法在两个相邻侧面各接上一个正四棱锥。
棱锥接在棱柱侧面的情况下，可以得到以下9种结果：
1. 侧锥三棱柱、二侧锥三棱柱、三侧锥三棱柱

正四棱柱

2. 侧锥五棱柱、二侧锥五棱柱

正四棱柱

3. 侧锥六棱柱、双侧锥六棱柱、二侧锥六棱柱、三侧锥六棱柱

正四棱柱

需要注意的是，上述结果中没有正四棱柱，因为正四棱柱本身就是正方体，其侧面与顶面是相同的，因此所有可能的结构都包含在情况（一）中的正四角锥柱和双四角锥柱中。
（三）棱锥同时接在顶面/底面和侧面
由于顶面和底面的位置是相同的，我们可以假设棱锥同时与棱柱的顶面和侧面相接。
顶面可以接正三棱锥、正四棱锥或正五棱锥，其侧面与底面的夹角分别约为 70.53°、54.74° 和 37.38°。
侧面只能接正四棱锥。
如果用一个垂直于顶面和侧面的平面去截取这个组合体，其截面将包含一个内角至少为 37.38° + 90° + 54.74° = 182.12° > 180°。而凸多面体的定义要求任何一个平面去截取它时，截面都应该是凸多边形。
棱锥同时接在顶面/底面和侧面的情况下无法构成约翰逊多面体。
总结
棱柱与棱锥组合可以构成以下15种约翰逊多面体：

正四棱柱