什么是正三棱锥 正三棱锥和球的联系与区别

昨日的影片讲解了常见的可切球的几何性质，探讨了如何寻找可切球球星、绘制球体以及处理思路。带着这些知识，我们今天尝试解决一道挑战题。

这道题出自河南的一场模考，它描述了一个正三棱锥，其侧棱长为 4 倍根号 3，底面边长为 6，还有一个球体与它所有的面都能相切。求该球体的表面积。表面积的求解关键在于求出半径。

我们需要寻找球星。对于正三棱锥，球星与底面相切的方式如下：首先确定底面的内切圆圆心，它位于中线的 1/3 处。这条中线的三等分点便是圆心，也是内切圆和外切圆的半径。

由于底面为正三角形，从圆心连到一边的中点，形成一个 30°-60°-90° 的等腰三角形。根据三角函数，它的边长与底面边长的比为 1:√3，因此底面边长 6 对应于一个长度为 6/√3=2√3 的边。以此得到内切圆半径和外切圆半径。

球星的寻找十分简单，过底面内切圆的圆心作一条垂线，垂线即为球星所在位置。再连接底面棱的顶点，得到球的半径。将垂线投影到侧棱，得到另一个可切球的半径。

接下来，我们要求解半径。利用直角三角形关系，需要知道长度。为了求出长度，我们需要寻找相似的小三角形和大的三角形。

观察大三角形，其边长分别为 4 倍根号 3、2 倍根号 3 和高度。发现它是一个 30°-60°-90° 的直角三角形，因此高度为 2 倍根号 3。通过比例关系，PO 与高度的比为 1:√3，PO 长度为 2√3。得到侧棱的部分长度，即高度 h 减去 PO 长度 2√3.

至此，题中所有的长度都已确定。利用三角形的勾股定理，得到关于半径 r 的方程：r²=PO 的平方+OP 的平方。展开该方程，得到关于 r 的二次方程。解方程，得到两个 r 值：4 + √3 和 4 - √3。

为了得到正确的 r 值，我们需要判断半径必定小于高度。若 r 为 4 + √3，则高为 8 + 2 倍根号 3，显然大于 6。r 应该为 4 - √3.

计算表面积：A=4πr²=4π(4 - √3)²=19 - 32 倍根号 3π。选项中，答案为 “C”。

至此，该题已完成。掌握了可切球的相关知识，球星的寻找、半径的求解和使用 r 的三角形，解决这类问题就轻而易举了。这里留给大家一个思考题：当 r 等于某一特定值时，会出现另一种相切情形。思考一下，这种相切情形是如何产生的，欢迎小伙伴们留言交流。

这道题的分享到此结束。