抛物线的参数方程 抛物线焦点方程

抛物线性质详解

顶点坐标公式
抛物线的顶点坐标可以通过其方程式直接计算得出：
对于一般式 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)，顶点坐标为 (-b/2a, (4ac-b²)/4a)。
对于缺少常数项的抛物线 y = ax² + bx, 顶点坐标简化为 (-b/2a, -b²/4a)。
标准方程与性质
抛物线的标准方程根据开口方向的不同而有所区别:
| 开口方向 | 标准方程 | 焦点 | 准线 | 离心率 | 定义域 |
|---|---|---|---|---|---|
| 右开口 | y² = 2px | (p/2, 0) | x = -p/2 | e = 1 | x ≥ 0 |
| 左开口 | y² = -2px | (-p/2, 0) | x = p/2 | e = 1 | x ≤ 0 |
| 上开口 | x² = 2py (等价于 y = ax², a > 0) | (0, p/2) | y = -p/2 | e = 1 | y ≥ 0 |
| 下开口 | x² = -2py (等价于 y = ax², a 0).
面积与弧长公式

顶点在原点、开口向上的抛物线 y = ax² 在区间 [-b, b] 内的 面积 为 Area = 2ab/3.
该抛物线在区间 [-b, b] 内的 弧长 计算公式为:
Arc length ABC = √(b² + 16a²) / 2 + (b²/8a) ln((4a + √(b² + 16a²)) / b).
参数方程
以右开口抛物线为例，其参数方程可以表示为:
x = 2pt²
y = 2pt
其中，参数 t 可以取任意实数，参数 p 仍然代表焦准距，其几何意义是抛物线的焦点 F(p/2, 0) 到准线 x = -p/2 的距离。
总结
本文详细介绍了抛物线的顶点坐标公式、标准方程、性质、面积和弧长公式以及参数方程，并对不同开口方向的抛物线进行了详细的分类讨论。