sin tan cos三角函数表 sin tan cos三角函数表关系

三角函数公式全解
三角函数是数学中的重要概念，贯穿初中、高中始终。尤其在高中，无论是选择、填空还是应用题，三角函数都占据了相当大的分值。掌握三角函数公式推导至关重要，否则将在学习过程中处于劣势。为了帮助大家更好地学习三角函数，本文整理了完整的三角函数公式大全，并对部分公式进行了推导。
一、基础公式
1. 锐角三角函数定义
- sin α =∠α的对边 / 斜边
- cos α =∠α的邻边 / 斜边
- tan α =∠α的对边 / ∠α的邻边
- cot α =∠α的邻边 / ∠α的对边
2. 倍角公式
- sin2A = 2sinAcosA
- cos2A = cos²A - sin²A = 1 - 2sin²A = 2cos²A - 1
- tan2A = (2tanA) / (1 - tan²A)
注： sin²A 表示 sinA 的平方，sin2(A) 表示 sin(2A)。
二、进阶公式
1. 三倍角公式
- sin3α = 4sinαsin(π/3 + α)sin(π/3 - α)
- cos3α = 4cosαcos(π/3 + α)cos(π/3 - α)
- tan3α = tanαtan(π/3 + α)tan(π/3 - α)
2. 辅助角公式
- Asinα + Bcosα = (A² + B²)^(1/2)sin(α + t)，其中：
- sint = B / (A² + B²)^(1/2)
- cost = A / (A² + B²)^(1/2)
- tant = B / A
- Asinα + Bcosα = (A² + B²)^(1/2)cos(α - t)，其中 tant = A / B
3. 降幂公式
- sin²α = (1 - cos2α) / 2 = versin(2α) / 2
- cos²α = (1 + cos2α) / 2 = covers(2α) / 2
- tan²α = (1 - cos2α) / (1 + cos2α)
4. 半角公式
- tan(A/2) = (1 - cosA) / sinA = sinA / (1 + cosA)
- cot(A/2) = sinA / (1 - cosA) = (1 + cosA) / sinA
- sin²(a/2) = (1 - cos(a)) / 2
- cos²(a/2) = (1 + cos(a)) / 2
- tan(a/2) = (1 - cos(a)) / sin(a) = sin(a) / (1 + cos(a))
三、常用公式推导
1. tanα + cotα = 2 / sin2α
推导过程：
```
tanα + cotα
= sinα/cosα + cosα/sinα
= (sin²α + cos²α) / (sinαcosα)
= 1 / (sinαcosα)
= 2 / (2sinαcosα)
= 2 / sin2α
```
2. 三倍角公式推导
- sin3α 推导：
```
sin3α
= sin(2α + α)
= sin2αcosα + cos2αsinα
= 2sinαcos²α + (1 - 2sin²α)sinα
= 3sinα - 4sin³α
= 4sinα(3/4 - sin²α)
= 4sinα[(√3/2)² - sin²α]
= 4sinα(sin²60° - sin²α)
= 4sinα(sin60° + sina)(sin60° - sina)
= 4sina 2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2] 2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
= 4sinαsin(60° + α)sin(60° - α)
```
- cos3α 推导：
```
cos3α
= cos(2α + α)
= cos2αcosα - sin2αsinα
= (2cos²α - 1)cosα - 2(1 - cos²α)cosα
= 4cos³α - 3cosα
= 4cosα(cos²α - 3/4)
= 4cosα[cos²α - (√3/2)²]
= 4cosα(cos²α - cos²30°)
= 4cosα(cosα + cos30°)(cosα - cos30°)
= 4cosα 2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2] {-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
= -4cosαsin(α + 30°)sin(α - 30°)
= -4cosαsin[90° - (60° - α)]sin[-90° + (60° + α)]
= -4cosαcos(60° - α)[-cos(60° + α)]
= 4cosαcos(60° - α)cos(60° + α)
```
- tan3α 推导：
由上述 sin3α 和 cos3α 的推导结果，可以得到：
```
tan3α = sin3α / cos3α = tanαtan(60° - α)tan(60° + α)
```
四、其他重要公式
1. 三角和
- sin(α + β + γ) = sinαcosβcosγ + cosαsinβcosγ + cosαcosβsinγ - sinαsinβsinγ
- cos(α + β + γ) = cosαcosβcosγ - cosαsinβsinγ - sinαcosβsinγ - sinαsinβcosγ
- tan(α + β + γ) = (tanα + tanβ + tanγ - tanαtanβtanγ) / (1 - tanαtanβ - tanβtanγ - tanγtanα)
2. 两角和差
- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
- tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)
- tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)
3. 和差化积
- sinθ + sinφ = 2sin[(θ + φ)/2]cos[(θ - φ)/2]
- sinθ - sinφ = 2cos[(θ + φ)/2]sin[(θ - φ)/2]
总结
熟练掌握三角函数公式是学好三角函数的关键。建议同学们在理解公式推导过程的基础上，加强记忆和练习，以便在考试中灵活运用。

三角函数关系

角和差公式

　　cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+ φ)/2] cos[(θ - φ)/2]

　　cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+ φ)/2] sin[(θ - φ)/2]

　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

　　sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

　　cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

　　sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

　　cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　sin(-α) = -sinα

　　cos(-α) = cosα

　　tan (—a)=-tanα

　　sin(π/2-α) = cosα

　　cos(π/2-α) = sinα

　　sin(π/2+α) = cosα

　　cos(π/2+α) = -sinα

　　sin(π-α) = sinα

　　cos(π-α) = -cosα

　　sin(π+α) = -sinα

　　cos(π+α) = -cosα

　　tanA= sinA/cosA

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］

　　cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］

　　tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］

　　(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

　　(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

　　(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

　　(4)对于任意非直角三角形,总有

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　证:

　　A+B=π-C

　　tan(A+B)=tan(π-C)

　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　得证

　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

　　(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

　　(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

　　(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

　　(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

　　(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0 以及

　　sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

三角函数看似有很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就能够发现三角函数各个公式之间有着强大的联系，希望大家一定要掌握，并且灵活合理运用哦。