透镜成像原理 凹透镜和凸透镜成像规律
阿贝与显微镜分辨率的突破
恩斯特·阿贝在蔡司公司期间，致力于提升显微镜性能。他挑战了当时“无限分辨率”的错误认知，通过对光学成像的深入研究，揭示了分辨率的极限。
在阿贝之前，人们普遍认为，只要尽可能地减小像差和提高放大倍率，就能制造出完美无瑕的显微镜。蔡司公司甚至推出过小孔径显微镜，试图以此减少像差，结果却适得其反。
为了探究真相，阿贝进行了大量的理论推导和实验验证。他专注于观察显微镜物镜焦平面上的衍射图样，最终提出了突破性的二次衍射成像理论。该理论指出：
- 显微镜的分辨率并非无限，而存在一个上限。
- 分辨率的高低取决于光的波长以及显微镜物镜的孔径。
传统的几何光学仅能提供简单的成像信息，而阿贝的研究将波动光学引入其中，揭示了光波在显微成像过程中的复杂行为。
一、阿贝成像实验原理
1873年，阿贝提出了著名的阿贝成像原理，阐明了显微成像的本质。该原理将成像过程分解为两个关键步骤：
- 衍射光形成：相干光照明下，物光穿过透镜后，在其后焦面上形成特殊的衍射光分布。
- 衍射光复合：后焦面上的衍射光继续向前传播，相互干涉叠加，最终形成像。
图1 阿贝成像示意图
如图1所示，来自物体的平行光经过透镜后，相同方向的光线会汇聚在后焦面上的同一个点。每个汇聚点的振幅是所有相同方向光线振幅的叠加。由于衍射光的特性由衍射物决定，因此后焦面上的每个点都对应着衍射物的一种特定结构信息。换言之，后焦面上的光强分布就是物体的空间频率谱。
如果在后焦面上放置一个滤波器，遮挡部分衍射光，就会改变最终成像的细节信息。例如，如果只允许零级衍射光通过，那么就只能看到一个模糊的光斑。而如果允许更多高阶衍射光通过，就能获得更清晰、更细节丰富的图像。
图2 阿贝成像VirtualLab软件仿真示意图
二、二维傅里叶变换与阿贝成像
阿贝成像原理可以利用二维傅里叶变换进行更深入的理解。二维傅里叶变换可以将一个函数分解成不同频率的正弦波的叠加。在光学中，可以将物体的图像看作是一个二维函数，而其在透镜后焦面上的光强分布就是该函数的二维傅里叶变换。
设二维函数 g(x,y) 表示物体的图像，其傅里叶变换 G(fx,fy) 表示为:
即:
对 G(fx,fy) 做傅里叶逆变换可得 g(x,y):
也就是说，函数 g(x,y) 可以由函数 G(fx,fy) 做逆傅里叶变换得到:
阿贝成像原理可以理解为：物体先被透镜进行一次傅里叶变换，然后在像面上进行一次逆傅里叶变换，最终形成图像。这个过程深刻揭示了衍射与成像之间的联系，为现代光学信息处理奠定了基础。
此部分内容详述离散求和形式的（2）式：
$$sum_{m=-infty}^{infty}sum_{n=-infty}^{infty}g(m,n)e^{j(2pi mxi+2pi neta)}=G(xi,eta)$$
由此衍生出以下结论：
- 二维函数本质上是由无数个不同空间频率信息组成的周期性函数叠加而来，而 g(x,y) 亦可分解成一系列具有不同空间频率的成分。
本实验分析的光波衍射传播符合菲涅尔近似条件，这意味着已知上一个面上的光场分布，即可计算推导出下一个面上的光场分布。
阿贝成像理论的第一阶段是物光在相干光照射后，在透镜的后焦平面上形成特有的衍射光分布。假设物光的光场分布函数为 t(x,y)，经过透镜后的后焦平面上的光场分布为 T(x,y) = F(t(x,y))。这一阶段将物光分解成一系列具有不同空间频率的光场分布，此平面被称为傅里叶频谱面。第二阶段是衍射光继续向前传播，完成复合成像。此阶段可视为不同空间频率信息周期性函数的叠加。
图 3 平面波入射的标准傅里叶变换
如图 3 所示，对于平面波入射的标准傅里叶变换，将物面置于第一个透镜的前焦平面上，在后焦平面上可以获得其频谱信息。频谱平面上的光继续向前传播，经过第二个透镜，并在其后焦平面上成像。如果在频谱平面上阻隔部分特定位置的光通过，则所得图像将丢失特定频谱信息（空间滤波）。
三、阿贝成像实验系统
图 4 系统示意图
本实验采用 650nm 平行光照明，样品为一维光栅，配合两个 f=80 的透镜和一个置于频谱平面上的可调光阑，最终在第二个透镜的后焦平面上使用 CCD 采集成像信息。通过调节光阑大小，控制参与复合成像的频谱信息，从而改变成像效果。
如图 5 所示为系统频谱平面光强分布：
图 5 光栅像的频谱平面信息
图 6
图 6 为光阑完全打开时 CCD 接收到的图像，即为光栅的图像。
图 7
图 7 为仅允许 +1、0、-1 阶次通过时得到的图像，可以看到条纹之间的亮点明显减少，说明高频信息已部分丢失。
图 8
图 8 为仅允许 0、+1 阶次通过时得到的图像，可以看到条纹边缘较模糊，说明高频信息进一步减少。
图 9
当前仅允许0级透射时，图像中高频信息完全缺失，栅格的周期性分布消失（见图9）。
图10 +1、-1级干涉
图11 +2、+1、-1、-2级干涉
当滤除0级光后，低频信息减弱，干涉条纹频率升高。其中，+-1、+-2级干涉条纹在两个亮条纹之间呈现一个亮度较低的亮条纹。
实验器材选择
- 600mm300mm光学平板
- 三孔固定支撑座
- 光栅
- 650nm固体激光器
- F=80mm透镜
- 可调光阑
- CCD
