微积分基本定理 学完微积分秒杀高中数学

1 微积分基本定理
微积分基本定理，又称牛顿-莱布尼兹公式，将函数的导数与其积分联系起来。

该定理可分解为两个部分：
导数与定积分互逆

利用反导数计算定积分

2 几何推导：导数与定积分互为逆
设曲线 y=f(x) 为连续函数，则 x 的每个值对应一个面积函数 A(x)，表示曲线下 0 到 x 之间的面积。

x 和 x+h 之间的曲线下面积可以通过从 0 到 x+h 的面积中减去 0 到 x 之间的面积得到，即“红色部分”的面积为 A(x+h)-A(x)。
还可以用如下方式估计同一“红色部分”的面积：

加上右上方的红色三角形，则公式准确表示为：

求导得：

其中，h|f(x+h)-f(x)| 为右上角小矩形的面积，而 |Red Excess| <= 小矩形面积。
因此：

当 h→0 时，上式右端项→0，相应地，左端项→0。

即 ∫_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)。
3 公式推导：微积分基本定理
3.1 预备知识
3.1.1 中值定理
中值定理表明，如果连续函数 f 在闭区间 [a，b] 上定义，那么存在一个 c ∈ (a，b)，使得 f(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)。
3.1.2 积分估值定理

3.1.3 积分中值定理

3.2 公式推导：导数与定积分互为逆

公式推导：微积分基本定理第二部分

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