策梅洛定理 柯西不等式基本公式
回合制游戏中如何平衡先手优势？
_本文改编自知乎用户 Xylitogum 在问题“关于回合制游戏的先手优势有哪些平衡手段？”下的回答，游戏葡萄已获转载授权。_
在回合制游戏中，先手玩家通常拥有行动上的优势。为了保证游戏的公平性和趣味性，开发者需要采取措施来平衡这种优势。
策梅洛定理指出，在信息完全、规则明确的二人有限博弈中，先手或后手玩家必然存在获胜或不败的策略。
回合制游戏的目标通常可以分为两类：
- 率先达成目标: 例如，率先将对手生命值降至零，率先集齐特定道具等。
- 尽量多得分: 例如，在规定时间内尽可能多地击败对手，在有限回合内获得更高的分数等。
由于先手玩家可以率先采取行动，因此在大多数情况下更容易获得优势。
我们可以将回合制游戏分为行动主导和反制主导两类：
行动主导:
- 玩家的行动回合被视为宝贵的资源。
- 玩家的大多数行动都直接关系到游戏目标，并且可以量化。
- 通常存在先手优势。
反制主导:
- 玩家根据对手的行动进行反制。
- 玩家的行动未必都对胜利有贡献，有时甚至会起到反作用。
- 很多情况下存在后手优势。
为了平衡行动主导型回合制游戏中的先手优势，可以采取以下策略：
思路一：“让数字说话”
- 减少初始资源与选择空间: 例如，在卡牌游戏中，让后手玩家拥有更多的手牌。
- 计分惩罚: 例如，在围棋中，使用“贴目”制度来平衡黑棋先行的优势。
思路二： “行动不是全部”
- 让先手需要外部资源投入: 例如，在宝可梦游戏中，引入“速度”属性，玩家需要权衡先手优势与其他属性之间的关系。
- 增加反制玩法: ...
上述提及的非对称游戏中，许多都后手方拥有显著优势。原因在于此类游戏中策略互克，使得后手方可以研究先手方的策略，并实施针对性调整以取得优势。倘若将主动行为和反制行为的想法结合起来，让双方都无法获得优势呢？
在 Dota 2 职业比赛的英雄选择环节，采用的便是类似策略。双方以 2-2-1 的顺序轮流禁用（ban）指定英雄并选择（pick）特定英雄，如下图所示：
诚然，如果假设英雄之间仅存在绝对强度差异，无论如何调整 ban-pick 顺序，先选的一方始终占优。但 Dota 2 巧妙的英雄设计促使玩家在选择英雄时不仅要考虑强度差异，还需要考虑英雄之间的特长协作制约关系，以及双方对英雄熟悉程度的不同都会影响 ban-pick 时的抉择。如此一来，职业比赛的英雄选择环节将不再是纯先手或运气主导，比赛的观赏性在赛前英雄选择中便得到充分体现。
思路三：“让游戏变得不可预测”
随机性：
与信息不透明度思路一致，在游戏中增添随机性可以提升结果不可预测性，从而降低它与玩家初始先后手状态的关联。随机性如同双刃剑，过度使用会导致游戏变成纯粹靠运气的角逐，显著降低策略带来的乐趣。务必要记住，随机性本身不一定改变游戏的对称性，但它可以弱化因对称性带来的单方面最优解选择，给最优解的执行带来一定阻碍。
在全球流行的桌面殖民地建设游戏《卡坦岛》（Settlers of Catan）中，掷两个骰子的点数之和决定玩家获取资源。初始两个基地的位置也遵循从前到后和从后到前的顺序，防止先行玩家垄断控制有利资源点。
另一个提到随机性不得不说的例子便是《炉石传说》。在这款游戏中，从抽卡到效果发动无处不充满着随机结果的干扰，从抽 3 张牌再从中选 1 张牌的发现机制也是随机性和决策的结合，更极端的例子如尤格萨隆，如此极端的随机性表现甚至可能直接左右比赛胜负。
在这样的游戏中，随机性让局势充满变数，使后手玩家相信先手优势并不恐怖，也让每局比赛都充满期待。但如前文所述，过度的随机性会让玩家失去自主感，让游戏的成败变得类似听天由命的焦虑过程，需要仔细琢磨；随机性与反制链结合不当，也会让游戏变成如石头剪子布般纯粹在开局定胜负的游戏。
提升游戏深度：
策梅洛定理假设双方都为“完美玩家”，但在现实游戏中，先手优势的大小不仅取决于潜在收益，还取决于玩家的实际操作能力。此处游戏的“深度”一词特指技能深度，尤其针对虽然存在最优解，但由于技能限制而无法完美实施的情况。
举个例子，足球和篮球等体育比赛是否存在先手优势？足球也是确定性信息透明的游戏，但没有人能保证自己能完美控制身体（可以通过训练提升），球权更迭非常频繁。双方在很多时候较量的便是身体控制能力，虽然先获得球权的优势存在，但在绝大多数情况下都不足以扭转比赛的战况——更不用说半场过后会更换另一队开球。
类似地，在国际象棋中，先行白棋也普遍拥有 2%-5% 的胜率优势。但由于决策树的深度和复杂度，国际象棋先手必胜与否目前仍然处于猜想阶段，更别提让肉体凡胎思考和执行了。即使对先手优势没有实质性平衡手段，国际象棋的平衡性也处于玩家普遍可以接受的范围内。
反之，深度较浅的游戏先手优势将被放大。比如井字棋游戏，由于深度太浅且没有随机性，大多数玩家很容易找到最优解并轻松实现。在这种情况下，先手优势不仅很大，而且很容易发现并执行不败策略，因此现在成年人娱乐对弈活动几乎不会考虑井字棋。
延长游戏时长：
假如无法对游戏规则进行大刀阔斧的改革，该如何进一步限制先手优势呢？
一种方法便是轮流进行，在一定局数后判定总体胜负，如同斯诺克比赛需要进行十几局甚至三十几局才能分出胜负。这样既能降低随机性对结果的影响，还能削弱先手优势。缺点是会严重放缓游戏节奏，同时依旧无法对单局比赛的体验产生影响。
除此之外，还可以拉长单局游戏的时长，像《文明》系列那样一局能持续数百个回合，让游戏的中后期弱化前期先手的影响（至少是心理影响）。但同样会严重放慢游戏节奏，对于不确定性较低的游戏而言，甚至无法达到削弱先手的效果。
信息不透明度：
同样是回合制纸笔游戏，《战舰》的先手优势就远不如井字棋那么明显（但仍然存在）。在《战舰》中，由于双方自己的海域布局对对手不可见，玩家需要轮流猜测敌船位置来决定炮击选择。
显然，如果将《战舰》的海域布局改为对双方完全公开，那么这款游戏的先手将变成必胜——先手可以优先击沉敌方所有船只。但考虑到初始阶段玩家实际上只有约 1/3 的概率命中有效目标（事实上等价于引入随机性），先手并不能保证先手优势的转化，只有少数极端情况下先手快一步击溃对手才会体现优势。而可以通过一个小小的规则修改来避免这一问题，并达到完美的对称性：
先手击沉对方所有船只后，还允许后手进行一次炮击；如果后手也因此击沉了所有敌船，则该局游戏为平手。
