cosx的导数 三角函数的导数

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闲暇时光，想要探讨两个经典的数学问题：

为何 sin(x) 的导数为 cos(x)？

为何 cos(x) 的导数为 -sin(x)？

这两个问题虽然耳熟能详，但其证明方式却可以多样化。下面，我将展示一种纯几何的方法来进行解释，这种方法基于初中水平的数学知识即可完成。

请看下图：

在此图中，我们可以看到一个四分之一圆，其半径为 1。图中竖直的橙色虚线表示的长度为：

而竖直的红色虚线长度为：

我们可以得到：

公式 (3) 体现了当角度从 α 增加一个微小的 dα 时，正弦值的增量。这个增量实际是长度 d。现在我们要找出这个长度 d，可以通过放大图中的绿色三角形来进行分析：

放大后的图示如图2所示。回忆弧长公式：

其中，l 为弧长，α 为圆心角，R 为圆的半径。在图1（或图2）中，这段弧长非常微小。实际上，当我们无限放大这段弧时，它可以近似为一条直线（参见图2）。

实际上这段弧已经足够小，因此可以直接将其近似为直线。放大的目的是为了帮助理解。

接下来，连结图中的红色点和橙色点，如图3中的青色线所示：

图3

在图3中，青色线为圆的一条割线。当红色点接近橙色点时（即 dα 非常小），这条青色线会越来越接近圆的切线。我们知道，连接圆心与切点的半径垂直于切线。当 dα 足够小时，图1中的橙色实线半径几乎垂直于青色割线。这条青色割线还可以近似为弧 l。

在图1中，我们会看到两个相似的三角形，用橙色和青色标记，如图4所示：

图4

由相似性可知，图4中的青色三角形在红色点处的角度为 α，如图5所示：

图5

在图5中的青色三角形中，斜边长近似为弧 l 的长度，即 dα，因此有：

即：

再来讨论第二个问题。

图6

图6中，绿色长度 s 表示当橙色半径从角度 α 旋转 dα 到红色半径时，余弦值的增量。不过这个增量是负的，即：

为了求解长度 s，我们可以利用之前的方法，结合青色三角形。由于 s 是青色三角形的短直角边，因此有：

即：