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在数学学习过程中，我们经常会遇到“诱导公式”这一概念。这些公式在很多教材中都被列出，排列起来可以占据相当一部分纸张。到底什么是“诱导公式”呢？

“诱导公式”是什么？

“诱导公式”这一术语可以追溯到较早的翻译传统。其实，它就是我们现在所说的“推导公式”。公理之外，几乎所有的公式都是通过推导得到的。这种称谓的存在本身就意味着这些公式的自明性。它们如此显而易见，以至于没人会为它们的发现感到惊喜，也不会为它们取个名字。没有名字，交流起来就显得不太方便，因此被称之为“诱导公式”，类似于“孩他娘”这一俗称。

什么是“显而易见”？

这些公式本质上揭示了两个核心概念：

① 乘以 -1 的几何效果是旋转 π 弧度，乘以 i 则是旋转 π/2 弧度。

② f(-x) 表示的几何效果是关于 x 轴的对称。

以上两点是基础知识，再结合以下两个显而易见的事实：

③ ±2π 的几何效果是保持不变。

④ 余弦函数中的“co”代表的是余角。

综合以上，这些就是所谓的“诱导公式”。它们都属于最基本的内容，角函数在其中的角色至关重要：它们是二维空间在一维空间中的投影，是旋转与平移的桥梁，并且虽然可以看作比值，但也具有简洁的几何定义。

如何理解这些简单事实变成复杂的公式？

这些公式并非以几何方式表达，而是用函数语言呈现。你需要换一个视角来理解，或者说需要一种新的观察方式。虽然这种视角可能让人感到陌生，但一旦熟悉，就会发现一切变得简单明了。

诱导公式的详细列出之所以显得繁杂，是因为涉及了 tan、sec、cot、csc 等多种函数。实际上，这些函数的关系可以通过 sin 和 cos 的变换很快看出来。之所以将它们一一列出，主要是为了查阅的方便，而不是为了记忆。一开始可能让人感到困惑，但一旦理解了其背后的原理，就会发现其实并不复杂。

如何将几何视角转化为函数视角？

这实际上与复数的乘法有很大关系。

对于 sin 和 cos 的理解，可以将其看作是“平面上关于 x 轴对称的点”的投影。y 轴上的投影是相同的，只不过符号相反。任何角度旋转一圈，从静态角度来看，结果保持不变。而“co”代表的余角，其实就是余角的正弦。

实际应用这些公式的方法是什么？

列出诱导公式的主要目的是为了在忘记时方便查阅。如果没有现成的对照表，其实通过动脑筋也可以轻松解决：

所有的变化都是以 π/2 为单位的，所以遇到 π/2 的倍数时，诱导公式自然适用。

对于 -π/2 的奇数倍，我们在原角和余角之间切换；对于 +π/2 的奇数倍，乘以 i；对于 π 的奇数倍，乘以 -1；如果发现符号不对，则通过对称变换调整符号。

最重要的公式是“

积化和差

”，这个公式从名字上看，显然有简化的作用。早在对数表发明之前，天文学家们就用它来简化计算。即使在纳皮尔发明对数表时，也可能受到这个公式的启发。

参考资料:

维基百科