圆盘转动惯量 几种常见形状刚体的转动惯量

本文旨在深入探讨非标设备中机械传动的关键概念，特别是在电机选型和转动惯量计算方面。通过对圆筒和圆柱体的转动惯量公式及推导过程的详细分析，读者将能够全面掌握相关知识，并在实际应用中灵活运用这些理论。

一、

在非标设备设计中，常用的机械传动方式有皮带、链条、齿轮和丝杆等。电机的选型是设计中最为重要的环节之一，当启动按钮被按下，设备如预期般运转，设计工程师们的紧张情绪随之缓解。转动惯量是电机选型时需重点考虑的参数之一，通常我们选用的标准件如带轮、链轮和滚珠丝杆等，其转动惯量都可以从制造商的资料中获得，这些数据是通过零件的材料和尺寸计算得出的，通常直接采用即可。

将详细分享圆筒和圆柱体转动惯量的计算公式及推导过程，帮助读者理解“知其然，知其所以然”的理念，这样才能在设计和调试过程中高效应对各种问题。对于有耐心的读者来说，公式的推导过程将会被详尽解析，无需动笔便可理解整个逻辑。

二、基本概念

转动惯量是描述刚体绕某一轴旋转时的惯性特征，其数学表示为：

式中：J为转动惯量；为刚体某质点的质量；为该质点到转轴的垂直距离。

这是推导刚体转动惯量的基本依据。

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三、圆筒的转动惯量

当转轴与圆筒的几何轴线重合时，圆筒的转动惯量为：

式中：J─圆筒的转动惯量[kg·m]，

m─

圆筒的质量[kg]，

R─

圆筒的外半径[m]，

r─

圆筒的内孔半径[m]

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如图所示，设定圆筒的一微小截面，其质量为；进一步细分出一厚度为、半径为的元圆筒，其质量为。

由于微截圆筒和元圆筒的厚度微不足道，可以将其视为质量分别为和的圆环。

（编者注：在计算非常小的几何形体时，可简化其形状，尽管不应忽略厚度，这是微积分中的重要精髓。这里的厚度被忽略，是由于引入了面密度的概念，相当于同时不计厚度即面质量、面密度。）

圆环的面密度为：

元圆筒的面积为：

元圆筒的质量为：

根据圆环的转动惯量公式，元圆筒的转动惯量为：

微截圆筒的转动惯量为：

最终得到整个圆筒的转动惯量为：

虽然以上方法通过质量积分来计算转动惯量，但理解上可能存在难度，我们可以采用另一种方式进行计算，过程如下：

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在圆筒上取一厚度为dL的微截圆筒，并取半径为的元圆筒。考虑到元圆筒与x轴的夹角、圆筒的密度等因素，计算过程会呈现出更清晰的结果。

微弧形块的体积及质量可以用以下公式表示：

微弧形块对z轴的转动惯量计算如下：

整个圆筒的转动惯量则为：

四、圆柱体的转动惯量

1、转轴与圆柱体几何轴线重合

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圆柱体的转动惯量为：

式中：J─圆柱体的转动惯量[kg·m]，m─圆柱体的质量[kg]，R─圆柱体的外半径[m]

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在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为，考虑到微圆柱体的极小厚度，可以将其视为一个圆盘。

圆盘上的圆环质量和面密度的计算方式与前述相似，得到整个圆柱体的转动惯量。

2、转轴通过圆柱体中心且与几何轴垂直

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圆柱体的转动惯量为：

式中：J─圆柱体的转动惯量[kg·m]；m─圆柱体的质量[kg]；R─圆柱体的外半径[m]；L─圆柱体的长度[m]；

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设定微圆柱体的厚度及其在空间中的坐标，结合圆柱体的密度，推导出整个细微圆柱体的转动惯量，过程较为复杂但可以通过空间想象力简化理解。

最终可得出整个圆柱体的转动惯量，这在工程应用中具有重要的指导意义。

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